Teorema de Bayes: 5 poliedros

De la geometría clásica conocemos que los poliedros regulares –aquellos sólidos limitados por figuras planas todas las cuales son iguales- son exactamente cinco: tetraedro (4 caras, triángulos equiláteros); hexaedro (6 caras, todos cuadrados): octaedro (8 caras, triángulos equiláteros); dodecaedro (12 caras, todos son pentágonos) e icosaedro (20 caras, triángulos equiláteros). Suponga que se tiene un ejemplar de cada tipo y que sus caras están numeradas a la manera de un dado (del 1 al 4; del 1 al 6; etc.).

Supongamos que sabemos que un sujeto ha elegido uno de esos 5 poliedros al azar y que lo ha lanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un 3? ¿Y cuál la de que sea un 7? De la teoría elemental de probabilidades es fácil deducir que esos valores son 0,014 y 0,052. Si además, supiéramos que el dado lanzado fue, digamos, el tetraedro, entonces las probabilidades en cuestión serían respectivamente 0,25 y 0,00. Estos resultados corresponden a la llamada “probabilidad directa”.

Sin embargo, lo que normalmente interesa a un investigador es la “probabilidad inversa”; no es, como se ha dicho, valorar cuán probable es lo que se observó en el supuesto de que se cumple determinado hipótesis, sino lo contrario: dado lo que se observó, cuán probable es que ello sea debido a determinada explicación posible. En este caso, supongamos que se sabe que el resultado del lanzamiento fue un 5; las preguntas relevantes pudieran ser: ¿Cuál es la probabilidad de que el poliedro elegido por el sujeto haya sido el tetraedro? ¿Cuál la de que haya sido el octaedro? O más generalmente, ¿qué probabilidad tiene cada una de las cinco hipótesis de ser la verdadera a la vista del número observado?

Si A1, A2, ..., Ak son k sucesos mutuamente excluyentes, uno de los cuales ha de ocurrir necesariamente, una forma en que suele expresarse la regla o Teorema de Bayes es:

:

donde P(Ai) es la probabilidad a priori que se atribuye a la ocurrencia de Ai y B (un número entre 1 y 20 en el ejemplo de los dados) es el desenlace obtenido al lanzar el dado.

Cinco poliedros.xls es un programa en Excel para observar el comportamiento del Teorema para diferentes distribuciones a priori y diferentes desenlaces posibles.

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