Ley de Benford

La historia de la llamada Ley de Benford comienza a finales del siglo XIX y concierne al matemático y astrónomo norteamericano Simon Newcomb, su verdadero descubridor. Nacido en Canadá en 1835, fue el primer presidente de la American Astronomical Society, pero también presidió dos prestigiosas sociedades científicas no circunscritas a la astronomía: la influyente American Association for the Advancement of Science y la American Mathematical Society.

A partir de los resultados empíricos, Benford formalizó las ideas de Newcomb y postuló una “ley de los números anómalos” según la cual, para cada número natural del 1 al 9, indica cuál es la probabilidad de que éste sea el primer dígito dentro de un conjunto de números que figuren en una lista salida de alguna construcción teórica, o de la actividad práctica, de la naturaleza o de la sociedad.

O sea, ante una lista de números con ese origen, la ley establece la siguiente fórmula:

=donde log es el logaritmo en base 10 y P_(d) es la probabilidad que le corresponde al dígito d de ser el primero cuando estamos ante una serie de números como las mencionadas.

Según dicha fórmula, las probabilidades de que, en una serie de muchos datos, el primer dígito de un número sea 1, un 2,..., un 8 y un 9 son las que figuran en la Tabla y en la Figura siguientes:

Tabla Probabilidades de aparición de los números del 1 al 9, como primer dígito

Dígito d	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P_(d)	0,301	0,176	0,125	0,097	0,079	0,067	0,058	0,051	0,046

Es natural preguntarse qué ha de entenderse como “una lista salida de alguna construcción teórica, o de la actividad práctica, de la naturaleza o de la sociedad”. Obviamente, no cualquier conjunto de datos sigue la Ley de Benford. Por ejemplo, los números de lotería que se pueden comprar un día cualquiera en Filadelfia -que responden a una conformación aleatoria- no la cumplen; tampoco se ajustaría la distribución de los números de teléfonos de La Habana, configurada según reglas que responden a la organización empresarial. Pero sí se ajustan por lo general datos salidos de fenómenos sociales, naturales, y económicos tales como longitud de los ríos, tamaños poblacionales de comunidades, series cronológicas de producción, o el número de bytes correspondientes a los archivos contenidos en la PC de cualquiera de nosotros.

La experiencia más interesante, obviamente, será probar el grado en que dicha ley se cumple. Para ello, se puede emplear el programas siguiente, adaptado por el autor de esta página a partir de información hallada en el sitio http://www.nigrini.com/benfordslaw.htm.